3.78 \(\int \text{csch}(e+f x) (a+b \sinh ^2(e+f x))^{3/2} \, dx\)

Optimal. Leaf size=127 \[ -\frac{a^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \cosh (e+f x)}{\sqrt{a+b \cosh ^2(e+f x)-b}}\right )}{f}+\frac{b \cosh (e+f x) \sqrt{a+b \cosh ^2(e+f x)-b}}{2 f}+\frac{\sqrt{b} (3 a-b) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \cosh (e+f x)}{\sqrt{a+b \cosh ^2(e+f x)-b}}\right )}{2 f} \]

[Out]

-((a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cosh[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]])/f) + ((3*a - b)*Sqrt[b]*ArcTanh[(
Sqrt[b]*Cosh[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]])/(2*f) + (b*Cosh[e + f*x]*Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]
^2])/(2*f)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.16497, antiderivative size = 127, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 7, number of rules used = 6, integrand size = 23, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.261, Rules used = {3186, 416, 523, 217, 206, 377} \[ -\frac{a^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \cosh (e+f x)}{\sqrt{a+b \cosh ^2(e+f x)-b}}\right )}{f}+\frac{b \cosh (e+f x) \sqrt{a+b \cosh ^2(e+f x)-b}}{2 f}+\frac{\sqrt{b} (3 a-b) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \cosh (e+f x)}{\sqrt{a+b \cosh ^2(e+f x)-b}}\right )}{2 f} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Csch[e + f*x]*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2),x]

[Out]

-((a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Cosh[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]])/f) + ((3*a - b)*Sqrt[b]*ArcTanh[(
Sqrt[b]*Cosh[e + f*x])/Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]^2]])/(2*f) + (b*Cosh[e + f*x]*Sqrt[a - b + b*Cosh[e + f*x]
^2])/(2*f)

Rule 3186

Int[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = Free
Factors[Cos[e + f*x], x]}, -Dist[ff/f, Subst[Int[(1 - ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*(a + b - b*ff^2*x^2)^p, x], x, Cos
[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2]

Rule 416

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[(d*x*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c
+ d*x^n)^(q - 1))/(b*(n*(p + q) + 1)), x] + Dist[1/(b*(n*(p + q) + 1)), Int[(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^(q - 2)
*Simp[c*(b*c*(n*(p + q) + 1) - a*d) + d*(b*c*(n*(p + 2*q - 1) + 1) - a*d*(n*(q - 1) + 1))*x^n, x], x], x] /; F
reeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && GtQ[q, 1] && NeQ[n*(p + q) + 1, 0] &&  !IGtQ[p, 1] && IntB
inomialQ[a, b, c, d, n, p, q, x]

Rule 523

Int[((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))/(((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^(n_)]), x_Symbol] :> Dist[f/b, I
nt[1/Sqrt[c + d*x^n], x], x] + Dist[(b*e - a*f)/b, Int[1/((a + b*x^n)*Sqrt[c + d*x^n]), x], x] /; FreeQ[{a, b,
c, d, e, f, n}, x]

Rule 217

Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Subst[Int[1/(1 - b*x^2), x], x, x/Sqrt[a + b*x^2]] /; FreeQ[{a,
b}, x] &&  !GtQ[a, 0]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rule 377

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Subst[Int[1/(c - (b*c - a*d)*x^n), x]
, x, x/(a + b*x^n)^(1/n)] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[n*p + 1, 0] && IntegerQ[n]

Rubi steps

\begin{align*} \int \text{csch}(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2} \, dx &=-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{\left (a-b+b x^2\right )^{3/2}}{1-x^2} \, dx,x,\cosh (e+f x)\right )}{f}\\ &=\frac{b \cosh (e+f x) \sqrt{a-b+b \cosh ^2(e+f x)}}{2 f}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{-(a-b) (2 a-b)-(3 a-b) b x^2}{\left (1-x^2\right ) \sqrt{a-b+b x^2}} \, dx,x,\cosh (e+f x)\right )}{2 f}\\ &=\frac{b \cosh (e+f x) \sqrt{a-b+b \cosh ^2(e+f x)}}{2 f}-\frac{a^2 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\left (1-x^2\right ) \sqrt{a-b+b x^2}} \, dx,x,\cosh (e+f x)\right )}{f}+\frac{((3 a-b) b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\sqrt{a-b+b x^2}} \, dx,x,\cosh (e+f x)\right )}{2 f}\\ &=\frac{b \cosh (e+f x) \sqrt{a-b+b \cosh ^2(e+f x)}}{2 f}-\frac{a^2 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1-a x^2} \, dx,x,\frac{\cosh (e+f x)}{\sqrt{a-b+b \cosh ^2(e+f x)}}\right )}{f}+\frac{((3 a-b) b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1-b x^2} \, dx,x,\frac{\cosh (e+f x)}{\sqrt{a-b+b \cosh ^2(e+f x)}}\right )}{2 f}\\ &=-\frac{a^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \cosh (e+f x)}{\sqrt{a-b+b \cosh ^2(e+f x)}}\right )}{f}+\frac{(3 a-b) \sqrt{b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \cosh (e+f x)}{\sqrt{a-b+b \cosh ^2(e+f x)}}\right )}{2 f}+\frac{b \cosh (e+f x) \sqrt{a-b+b \cosh ^2(e+f x)}}{2 f}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.553553, size = 136, normalized size = 1.07 \[ \frac{-4 a^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{2} \sqrt{a} \cosh (e+f x)}{\sqrt{2 a+b \cosh (2 (e+f x))-b}}\right )+b \cosh (e+f x) \sqrt{4 a+2 b \cosh (2 (e+f x))-2 b}-2 \sqrt{b} (b-3 a) \log \left (\sqrt{2 a+b \cosh (2 (e+f x))-b}+\sqrt{2} \sqrt{b} \cosh (e+f x)\right )}{4 f} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Csch[e + f*x]*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2),x]

[Out]

(-4*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Cosh[e + f*x])/Sqrt[2*a - b + b*Cosh[2*(e + f*x)]]] + b*Cosh[e + f*x]*Sqr
t[4*a - 2*b + 2*b*Cosh[2*(e + f*x)]] - 2*Sqrt[b]*(-3*a + b)*Log[Sqrt[2]*Sqrt[b]*Cosh[e + f*x] + Sqrt[2*a - b +
b*Cosh[2*(e + f*x)]]])/(4*f)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.086, size = 268, normalized size = 2.1 \begin{align*} -{\frac{1}{4\,f\cosh \left ( fx+e \right ) }\sqrt{ \left ( a+b \left ( \sinh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2} \right ) \left ( \cosh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}} \left ( 2\,{a}^{3/2}\ln \left ({\frac{ \left ( a+b \right ) \left ( \cosh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}+2\,\sqrt{a}\sqrt{b \left ( \cosh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{4}+ \left ( a-b \right ) \left ( \cosh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}}+a-b}{ \left ( \cosh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}-1}} \right ) +{b}^{{\frac{3}{2}}}\ln \left ({\frac{1}{2} \left ( 2\,b \left ( \cosh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}+2\,\sqrt{b \left ( \cosh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{4}+ \left ( a-b \right ) \left ( \cosh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}}\sqrt{b}+a-b \right ){\frac{1}{\sqrt{b}}}} \right ) -3\,\sqrt{b}a\ln \left ( 1/2\,{\frac{2\,b \left ( \cosh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}+2\,\sqrt{b \left ( \cosh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{4}+ \left ( a-b \right ) \left ( \cosh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}}\sqrt{b}+a-b}{\sqrt{b}}} \right ) -2\,b\sqrt{b \left ( \cosh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{4}+ \left ( a-b \right ) \left ( \cosh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}} \right ){\frac{1}{\sqrt{a+b \left ( \sinh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}}}}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(csch(f*x+e)*(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(3/2),x)

[Out]

-1/4*((a+b*sinh(f*x+e)^2)*cosh(f*x+e)^2)^(1/2)*(2*a^(3/2)*ln(((a+b)*cosh(f*x+e)^2+2*a^(1/2)*(b*cosh(f*x+e)^4+(
a-b)*cosh(f*x+e)^2)^(1/2)+a-b)/(cosh(f*x+e)^2-1))+b^(3/2)*ln(1/2*(2*b*cosh(f*x+e)^2+2*(b*cosh(f*x+e)^4+(a-b)*c
osh(f*x+e)^2)^(1/2)*b^(1/2)+a-b)/b^(1/2))-3*b^(1/2)*a*ln(1/2*(2*b*cosh(f*x+e)^2+2*(b*cosh(f*x+e)^4+(a-b)*cosh(
f*x+e)^2)^(1/2)*b^(1/2)+a-b)/b^(1/2))-2*b*(b*cosh(f*x+e)^4+(a-b)*cosh(f*x+e)^2)^(1/2))/cosh(f*x+e)/(a+b*sinh(f
*x+e)^2)^(1/2)/f

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (b \sinh \left (f x + e\right )^{2} + a\right )}^{\frac{3}{2}} \operatorname{csch}\left (f x + e\right )\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csch(f*x+e)*(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((b*sinh(f*x + e)^2 + a)^(3/2)*csch(f*x + e), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 3.68536, size = 14642, normalized size = 115.29 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csch(f*x+e)*(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[-1/8*(((3*a - b)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(3*a - b)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + (3*a - b)*sinh(f*x + e)^2)*sqrt(
b)*log((a^2*b*cosh(f*x + e)^8 + 8*a^2*b*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^7 + a^2*b*sinh(f*x + e)^8 + 2*(a^3 + a^2*b
)*cosh(f*x + e)^6 + 2*(14*a^2*b*cosh(f*x + e)^2 + a^3 + a^2*b)*sinh(f*x + e)^6 + 4*(14*a^2*b*cosh(f*x + e)^3 +
3*(a^3 + a^2*b)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^5 + (9*a^2*b - 4*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)^4 + (70*a^2*b*cosh(f
*x + e)^4 + 9*a^2*b - 4*a*b^2 + b^3 + 30*(a^3 + a^2*b)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^4 + 4*(14*a^2*b*cosh(f*x
+ e)^5 + 10*(a^3 + a^2*b)*cosh(f*x + e)^3 + (9*a^2*b - 4*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^3 + b^3 +
2*(3*a*b^2 - b^3)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(14*a^2*b*cosh(f*x + e)^6 + 15*(a^3 + a^2*b)*cosh(f*x + e)^4 + 3*a*b^2 -
b^3 + 3*(9*a^2*b - 4*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^2 - sqrt(2)*(a^2*cosh(f*x + e)^6 + 6*a^2*cos
h(f*x + e)*sinh(f*x + e)^5 + a^2*sinh(f*x + e)^6 + 3*a^2*cosh(f*x + e)^4 + 3*(5*a^2*cosh(f*x + e)^2 + a^2)*sin
h(f*x + e)^4 + 4*(5*a^2*cosh(f*x + e)^3 + 3*a^2*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^3 + (4*a*b - b^2)*cosh(f*x + e)^2
+ (15*a^2*cosh(f*x + e)^4 + 18*a^2*cosh(f*x + e)^2 + 4*a*b - b^2)*sinh(f*x + e)^2 + b^2 + 2*(3*a^2*cosh(f*x +
e)^5 + 6*a^2*cosh(f*x + e)^3 + (4*a*b - b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e))*sqrt(b)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 +
b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2)) + 4*(2*a^2*b
*cosh(f*x + e)^7 + 3*(a^3 + a^2*b)*cosh(f*x + e)^5 + (9*a^2*b - 4*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)^3 + (3*a*b^2 - b^
3)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e))/(cosh(f*x + e)^6 + 6*cosh(f*x + e)^5*sinh(f*x + e) + 15*cosh(f*x + e)^4*sinh(
f*x + e)^2 + 20*cosh(f*x + e)^3*sinh(f*x + e)^3 + 15*cosh(f*x + e)^2*sinh(f*x + e)^4 + 6*cosh(f*x + e)*sinh(f*
x + e)^5 + sinh(f*x + e)^6)) - 4*(a*cosh(f*x + e)^2 + 2*a*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + a*sinh(f*x + e)^2)*sqr
t(a)*log(-((a + b)*cosh(f*x + e)^4 + 4*(a + b)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + (a + b)*sinh(f*x + e)^4 + 2*(3*
a - b)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(f*x + e)^2 + 3*a - b)*sinh(f*x + e)^2 - 2*sqrt(2)*(cosh(f*x + e)^2
+ 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2 + 1)*sqrt(a)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2
*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2)) + 4*((a + b)*cosh(f*x + e)^3 + (3
*a - b)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e) + a + b)/(cosh(f*x + e)^4 + 4*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + sinh(f*x +
e)^4 + 2*(3*cosh(f*x + e)^2 - 1)*sinh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)^2 + 4*(cosh(f*x + e)^3 - cosh(f*x + e))*sin
h(f*x + e) + 1)) + ((3*a - b)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(3*a - b)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + (3*a - b)*sinh(f*x +
e)^2)*sqrt(b)*log(-(b*cosh(f*x + e)^4 + 4*b*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + b*sinh(f*x + e)^4 + 2*(a - b)*cos
h(f*x + e)^2 + 2*(3*b*cosh(f*x + e)^2 + a - b)*sinh(f*x + e)^2 - sqrt(2)*(cosh(f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x + e)*si
nh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2 - 1)*sqrt(b)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x +
e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2)) + 4*(b*cosh(f*x + e)^3 + (a - b)*cosh(f*x + e))*sinh(
f*x + e) + b)/(cosh(f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2)) - sqrt(2)*(b*cosh(f*x + e)^
2 + 2*b*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + b*sinh(f*x + e)^2 + b)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a
- b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2)))/(f*cosh(f*x + e)^2 + 2*f*cosh(f*x
+ e)*sinh(f*x + e) + f*sinh(f*x + e)^2), 1/8*(8*(a*cosh(f*x + e)^2 + 2*a*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + a*sinh(
f*x + e)^2)*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*(cosh(f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2 + 1)*sq
rt(-a)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)
+ sinh(f*x + e)^2))/(b*cosh(f*x + e)^4 + 4*b*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + b*sinh(f*x + e)^4 + 2*(2*a - b)*
cosh(f*x + e)^2 + 2*(3*b*cosh(f*x + e)^2 + 2*a - b)*sinh(f*x + e)^2 + 4*(b*cosh(f*x + e)^3 + (2*a - b)*cosh(f*
x + e))*sinh(f*x + e) + b)) - ((3*a - b)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(3*a - b)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + (3*a - b)
*sinh(f*x + e)^2)*sqrt(b)*log((a^2*b*cosh(f*x + e)^8 + 8*a^2*b*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^7 + a^2*b*sinh(f*x
+ e)^8 + 2*(a^3 + a^2*b)*cosh(f*x + e)^6 + 2*(14*a^2*b*cosh(f*x + e)^2 + a^3 + a^2*b)*sinh(f*x + e)^6 + 4*(14*
a^2*b*cosh(f*x + e)^3 + 3*(a^3 + a^2*b)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^5 + (9*a^2*b - 4*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x +
e)^4 + (70*a^2*b*cosh(f*x + e)^4 + 9*a^2*b - 4*a*b^2 + b^3 + 30*(a^3 + a^2*b)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^4
+ 4*(14*a^2*b*cosh(f*x + e)^5 + 10*(a^3 + a^2*b)*cosh(f*x + e)^3 + (9*a^2*b - 4*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e))*s
inh(f*x + e)^3 + b^3 + 2*(3*a*b^2 - b^3)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(14*a^2*b*cosh(f*x + e)^6 + 15*(a^3 + a^2*b)*cosh
(f*x + e)^4 + 3*a*b^2 - b^3 + 3*(9*a^2*b - 4*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^2 - sqrt(2)*(a^2*cosh
(f*x + e)^6 + 6*a^2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^5 + a^2*sinh(f*x + e)^6 + 3*a^2*cosh(f*x + e)^4 + 3*(5*a^2*cos
h(f*x + e)^2 + a^2)*sinh(f*x + e)^4 + 4*(5*a^2*cosh(f*x + e)^3 + 3*a^2*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^3 + (4*a*b
- b^2)*cosh(f*x + e)^2 + (15*a^2*cosh(f*x + e)^4 + 18*a^2*cosh(f*x + e)^2 + 4*a*b - b^2)*sinh(f*x + e)^2 + b^
2 + 2*(3*a^2*cosh(f*x + e)^5 + 6*a^2*cosh(f*x + e)^3 + (4*a*b - b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e))*sqrt(b)*sqr
t((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*
x + e)^2)) + 4*(2*a^2*b*cosh(f*x + e)^7 + 3*(a^3 + a^2*b)*cosh(f*x + e)^5 + (9*a^2*b - 4*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x
+ e)^3 + (3*a*b^2 - b^3)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e))/(cosh(f*x + e)^6 + 6*cosh(f*x + e)^5*sinh(f*x + e) + 1
5*cosh(f*x + e)^4*sinh(f*x + e)^2 + 20*cosh(f*x + e)^3*sinh(f*x + e)^3 + 15*cosh(f*x + e)^2*sinh(f*x + e)^4 +
6*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^5 + sinh(f*x + e)^6)) - ((3*a - b)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(3*a - b)*cosh(f*x + e)*s
inh(f*x + e) + (3*a - b)*sinh(f*x + e)^2)*sqrt(b)*log(-(b*cosh(f*x + e)^4 + 4*b*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3
+ b*sinh(f*x + e)^4 + 2*(a - b)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(3*b*cosh(f*x + e)^2 + a - b)*sinh(f*x + e)^2 - sqrt(2)*(c
osh(f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2 - 1)*sqrt(b)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh
(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2)) + 4*(b*cosh(f*x +
e)^3 + (a - b)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e) + b)/(cosh(f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x +
e)^2)) + sqrt(2)*(b*cosh(f*x + e)^2 + 2*b*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + b*sinh(f*x + e)^2 + b)*sqrt((b*cosh(f
*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2)))
/(f*cosh(f*x + e)^2 + 2*f*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + f*sinh(f*x + e)^2), -1/8*(2*((3*a - b)*cosh(f*x + e)^2
+ 2*(3*a - b)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + (3*a - b)*sinh(f*x + e)^2)*sqrt(-b)*arctan(sqrt(2)*(a*cosh(f*x +
e)^2 + 2*a*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + a*sinh(f*x + e)^2 + b)*sqrt(-b)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x
+ e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2))/(a*b*cosh(f*x + e)^4 +
4*a*b*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + a*b*sinh(f*x + e)^4 + (3*a*b - b^2)*cosh(f*x + e)^2 + (6*a*b*cosh(f*x +
e)^2 + 3*a*b - b^2)*sinh(f*x + e)^2 + b^2 + 2*(2*a*b*cosh(f*x + e)^3 + (3*a*b - b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x +
e))) + 2*((3*a - b)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(3*a - b)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + (3*a - b)*sinh(f*x + e)^2)*sq
rt(-b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2 - 1)*sqrt(-b)*sqrt((b
*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x +
e)^2))/(b*cosh(f*x + e)^4 + 4*b*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + b*sinh(f*x + e)^4 + 2*(2*a - b)*cosh(f*x + e)^
2 + 2*(3*b*cosh(f*x + e)^2 + 2*a - b)*sinh(f*x + e)^2 + 4*(b*cosh(f*x + e)^3 + (2*a - b)*cosh(f*x + e))*sinh(f
*x + e) + b)) - 4*(a*cosh(f*x + e)^2 + 2*a*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + a*sinh(f*x + e)^2)*sqrt(a)*log(-((a +
b)*cosh(f*x + e)^4 + 4*(a + b)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + (a + b)*sinh(f*x + e)^4 + 2*(3*a - b)*cosh(f*x
+ e)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(f*x + e)^2 + 3*a - b)*sinh(f*x + e)^2 - 2*sqrt(2)*(cosh(f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x +
e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2 + 1)*sqrt(a)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f
*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2)) + 4*((a + b)*cosh(f*x + e)^3 + (3*a - b)*cosh(f*
x + e))*sinh(f*x + e) + a + b)/(cosh(f*x + e)^4 + 4*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + sinh(f*x + e)^4 + 2*(3*cos
h(f*x + e)^2 - 1)*sinh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)^2 + 4*(cosh(f*x + e)^3 - cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e) + 1)
) - sqrt(2)*(b*cosh(f*x + e)^2 + 2*b*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + b*sinh(f*x + e)^2 + b)*sqrt((b*cosh(f*x + e
)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2)))/(f*co
sh(f*x + e)^2 + 2*f*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + f*sinh(f*x + e)^2), 1/8*(8*(a*cosh(f*x + e)^2 + 2*a*cosh(f*x
+ e)*sinh(f*x + e) + a*sinh(f*x + e)^2)*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*(cosh(f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x +
e) + sinh(f*x + e)^2 + 1)*sqrt(-a)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 -
2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2))/(b*cosh(f*x + e)^4 + 4*b*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + b*s
inh(f*x + e)^4 + 2*(2*a - b)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(3*b*cosh(f*x + e)^2 + 2*a - b)*sinh(f*x + e)^2 + 4*(b*cosh(f
*x + e)^3 + (2*a - b)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e) + b)) - 2*((3*a - b)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(3*a - b)*cosh(f*x
+ e)*sinh(f*x + e) + (3*a - b)*sinh(f*x + e)^2)*sqrt(-b)*arctan(sqrt(2)*(a*cosh(f*x + e)^2 + 2*a*cosh(f*x + e
)*sinh(f*x + e) + a*sinh(f*x + e)^2 + b)*sqrt(-b)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh
(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2))/(a*b*cosh(f*x + e)^4 + 4*a*b*cosh(f*x + e)*sin
h(f*x + e)^3 + a*b*sinh(f*x + e)^4 + (3*a*b - b^2)*cosh(f*x + e)^2 + (6*a*b*cosh(f*x + e)^2 + 3*a*b - b^2)*sin
h(f*x + e)^2 + b^2 + 2*(2*a*b*cosh(f*x + e)^3 + (3*a*b - b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e))) - 2*((3*a - b)*co
sh(f*x + e)^2 + 2*(3*a - b)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + (3*a - b)*sinh(f*x + e)^2)*sqrt(-b)*arctan(sqrt(2)*(
cosh(f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2 - 1)*sqrt(-b)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*si
nh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2))/(b*cosh(f*x + e)
^4 + 4*b*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + b*sinh(f*x + e)^4 + 2*(2*a - b)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(3*b*cosh(f*x + e
)^2 + 2*a - b)*sinh(f*x + e)^2 + 4*(b*cosh(f*x + e)^3 + (2*a - b)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e) + b)) + sqrt(2)
*(b*cosh(f*x + e)^2 + 2*b*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + b*sinh(f*x + e)^2 + b)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sin
h(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2)))/(f*cosh(f*x + e)
^2 + 2*f*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + f*sinh(f*x + e)^2)]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csch(f*x+e)*(a+b*sinh(f*x+e)**2)**(3/2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (b \sinh \left (f x + e\right )^{2} + a\right )}^{\frac{3}{2}} \operatorname{csch}\left (f x + e\right )\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csch(f*x+e)*(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((b*sinh(f*x + e)^2 + a)^(3/2)*csch(f*x + e), x)